topicoA matemática da telefonia celular

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 A solução matemática

O problema básico da telefonia

 

Sob um ponto de vista muito ingênuo, a tarefa do projeto de uma central telefônica parece ser muito simples: desde que conhecêssemos a demanda de ligações, tudo o que o engenheiro teria de fazer seria calcular o número de linhas ( ou canais, ou troncos telefônicos ) que seriam suficientes para atender a tal demanda.

Dizemos que esse ponto de vista é ingênuo pois que vivemos num mundo de recursos limitados e, mesmo que conseguíssemos colocar um número de linhas capaz de cobrir totalmente a atual demanda, a tendência é essa demanda crescer no tempo e superar essa capacidade. Além disso, conforme já observamos no início, temos mil e um fatores imprevisíveis que podem provocar um pico inesperado de demanda a ponto de ultrapassar a atual capacidade de atendimento da central, estabelecendo-se um estado de congestionamento.

Assim que, no mundo real, o engenheiro que projeta uma central telefônica contenta-se em achar um número de linhas que garanta que a probabilidade de haver um excesso de demanda, ou congestionamento da central, não seja maior do que um valor considerado razoável.

Consequentemente, o projeto de uma central telefônica envolverá três variáveis e não duas. Explicitemos
mais cuidadosamente todas essas variáveis:

• o número de linhas ( ou canais, ou troncos telefônicos) que estarão à disposição dos usuários da central telefônica em projeto
• a demanda da central, ou seja: o volume de tempo – expresso em horas – do total das ligações solicitadas à central em uma hora; ou seja: a unidade de medida da demanda é quantidade de horas de ligações por hora, sendo que os engenheiros deram o nome de erlang a essa unidade de medida.

EXEMPLO:
Numa central telefônica com 100 linhas, qual a demanda produzida se cada linha recebe, em média, 2 chamadas / hora e essas tem duração média de 3 minutos?

Solução:
chegam à central 100 x 2 = 200 chamadas por hora, que ocupam 200 x 3 = 600 minutos = 10 horas. Consequentemente, a demanda é de 10 horas por hora, ou seja: 10 erlang.
• o congestionamento provável da central, ou seja: o provável percentual de chamadas que encontrarão a central ocupada

número de linhas da central = L
demanda na central = d
congestionamento provável = c

Posto isto, vemos que o projeto de uma central telefônica estará resolvido se conseguirmos expressar o número L de linhas em termos da demanda d a ser atendida e do congestionamento provável c que estamos dispostos a aceitar. Assim que o problema básico da telefonia é: achar a função L = L ( c , d ) .

A solução idealizada pelo dinamarquês A.K. Erlang

As chamadas telefônicas chegam aleatoriamente na central. Elas produzem ou não conexão com seu destino, dependendo da disponibilidade momentânea da central. Havendo linha disponível, a ligação é feita instantâneamente; caso contrário, quando todos os canais estiverem ocupados, a chamada do usuário recebe o sinal de “ocupado” e a mesma é imediatamente perdida ( ou seja: ela não fica esperando até a liberação de uma linha; ao contrário, posteriormente, o usuário deverá tentar outra ligação ).

Trabalhando com essas idealizações de central telefônica , o primeiro resultado importante que Erlang conseguiu ocorreu em 1 909, quando descobriu que as chamadas podiam muito bem ser aproximadas por uma distribuição de probabilidades do tipo de Poisson. Isso foi feito no trabalho: “The Theory of Probabilities and Telephone Conversations”.

A partir desse resultado, mais alguns anos de trabalho lhe permitiram relacionar as três variáveis básicas: c, L e d. Esse resultado, ainda hoje fundamental tanto para telefonia clássica como para telefonia celular, foi publicado no artigo “Solution of some Problems in the Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone Exchanges”, 1 913 e pode ser resumido pela seguinte fórmula:

Observe que trata-se de uma relação do tipo c = c ( L , d ) e não do tipo L = L ( c , d ), conforme estávamos esperando. Adiante, trataremos de enfrentar esse pequeno problema. Por enquanto, tratemos de entender o significado dessa fórmula:

Exemplo:
Uma central com L = 15 linhas e demanda d = 10 erlang terá um congestionamento de c = c ( 15, 10 ) = 0.036, ou seja: 3.6% das chamadas receberão o sinal de ocupado.

Matéria retirada do endereço:  http://www.cesec.ufpr.br/~cds/aplicacoes/aplicacaomat.htm
no dia 09/10/2005

No ensino superior, sobretudo nos cursos voltados para as áreas de telecomunicações, o universitário
usa a matemática como “ferramenta” na construção das novas tecnologias. A cada dia surge uma nova função que adicionada ao aparelho celular, faz dele a tecnologia mais vendida no mundo.

O Brasil contabilizou no final de setembro de 2005, 79 milhões de celulares vendidos.