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O Problema das Abelhas

Afirma Maeterlinck, no seu famoso livro sobre as abelhas, que esses animais,   na construção de seus alvéolos, resolvem um problema de alta matemática.

   
Há nessa asserção certo exagero do escritor belga: o problema que as abelhas resolvem  pode ser abordado, sem grande dificuldade, com os recursos da Matemática elementar.

Não nos importa, porém, saber se o problema é elementar ou transcendente; a verdade  é que esses pequeninos e laboriosos insetos resolvem um interessantíssimo problema  por artifício que chega a deslumbrar a inteligência humana.

   
Todos sabem que a abelha constrói os seus alvéolos para neles depositar o mel  que fabrica. Esses alvéolos são feitos de cera. A abelha procura, portanto, obter  uma forma de alvéolos que seja a mais econômica possível, isto é, que apresente  maior volume para a menor porção de material empregado. É preciso que a parede de uma alvéolo sirva, também, ao alvéolo vizinho. Logo,  o alvéolo não pode ter forma cilíndrica, pois do contrário cada parede só serviria  a um alvéolo.

Procuraram as abelhas uma forma prismática para os seus alvéolos. Os únicos prismas  regulares que podem ser justapostos sem deixar interstício são: o triangular,  o quadrangular e o hexagonal. Foi este último que as abelhas escolheram. E sabem  por quê? Porque dos três prismas regulares A, B e C construídos com porção igual  de cera, o prisma hexagonal é o que apresenta maior volume.

Eis o problema resolvido pelas abelhas:
Dados três prismas regulares da mesma altura A ( triangular ), B ( quadrangular  ) e C ( hexagonal ), tendo a mesma área lateral, qual é o que tem maior volume?

  
Uma vez determinada a forma dos alvéolos, era preciso fechá-los, isto é, determinar  o meio mais econômico de cobrir os alvéolos.

A forma adotada foi a seguinte: o fundo de cada alvéolo é constituído de três  losangos iguais.

Maraldi, astrônomo do Observatório de Paris, determinou, experimentalmente, com  absoluta precisão, os ângulos desse losango e achou 109º28′ , para o ângulo  obtuso, e 70º32′, para o ângulo agudo.

O físico Réaumur, supondo que as abelhas eram guiadas, na construção dos alvéolos  por um princípio de economia, propôs ao geômetra alemão Koening, em 1739, o seguinte  problema:
Entre todas as células hexagonais, com o fundo formado de três losangos,  determinar a que seja construída com a maior economia de material.

Koening, que não conhecia os resultados obtidos por Maraldi, achou que os ângulos  do losango do alvéolo matematicamente mais econômico deviam ser 109º26′  para o ângulo obtuso e 70º34′, para o ângulo agudo.

A concordância entre as medidas feitas por Maraldi e os resultados calculados  por Koening era espantosa. Os geômetras concluíram que as abelhas cometiam, na  construção dos seus alvéolos, um erro de 2′ no ângulo do losango de fechamento.

Concluíram os homens de ciência que as abelhas erravam, mas entre o alvéolo que  construíam e o alvéolo matematicamente certo havia uma diferença extremamente  pequena.

Fato curioso! Alguns anos depois (1743), o geômetra Mac Laurin retomou novamente  o problema e demonstrou que Koening havia errado e que o resultado era traduzido  precisamente pelos valores dos ângulos dados por Maraldi – 109º28′ e 70º32′.

A razão estava, pois, com as abelhas. O matemático Koening é que havia errado!